Відмова від відповідальності: я надав ранній доступ до внутрішньої бета-версії Grok 4.20 Він знайшов нову функцію Bellman для однієї з задач, над якою я працював зі своїм учнем Н. Алпаєм. Задача зводиться до ідентифікації максимальної функції U(p,q) за двома обмеженнями та розуміння поведінки U(p,0). У нашій статті ми довели U(p,0)\geq I(p), де I(p) — гаусівський ізопериметричний профіль, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} як p ~ 0. Через ~5 хвилин Grok 4.20 отримав явну формулу U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, де \tau — час виходу броунівського руху з (0,1), починаючи з p. Це дає U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) при p ~ 0, що є квадратним кореневим покращенням логарифмічного множника. Чи має цей результат якесь значення? Вона не скаже вам, як змінити світ завтра. Натомість це дає невеликий крок до розуміння того, що відбувається зі середніми стохастичними аналогами похідних (квадратична варіація) булевих функцій: наскільки вони можуть бути малими?  Точніше, це дає чітку нижню межу норми L1 діадичної квадратної функції, застосованої до індикаторних функцій 1_A множин A \subset [0,1]. У моєму попередньому твіті про функцію Такаґі ми побачили, що різка нижня межа на ||S_1(1_A)||_1 дивовижним чином збігається з функцією Такаґі |A| що (на диво для мене) пов'язано з гіпотезою Рімана. Тут отримуємо різку нижню межу на ||S_2(1_A)||_1 задається E \sqrt{\tau}, де броунівський рух починається з |A|. Ця функція належить до сімейства ізопериметричних профілів, але, на відміну від фрактальної функції Такагі, вона гладка і не збігається з гаусівським ізопериметричним профілем. Нарешті, у гармонічному аналізі відомо, що квадратна функція не обмежена в L^1. Питання тут більше стосувалося цікавості: як саме він вибухає при тестуванні на булевих функціях 1_A.  Раніше найвідомішою нижньою межею була |A|(1-|A|) (Беркхолдер—Девіс—Генді). У нашій статті ми отримали |A| (1-|A|)\sqrt{log(1/(|A|(1-|A|)))}. Ця нова функція Беллмана Грока дає |A| (1-|A|) \log(1/(|A|(1-|A|))) І ця палітура насправді гостра.

Якщо ви продовжите тестувати задачі Ердеша з LLM, дуже ймовірно, що зрештою розв'яжете одну з відкритих. Експерти цього не роблять (з очевидних причин). Неексперти припускають, що це роблять експерти. Вони не такі.

Встановіть Арістотеля. Отримайте API-ключ. Запусти його з терміналу. Обирайте будь-яку відкриту задачу з математики та вводите в Арістотеля (природною мовою!). Через кілька годин він або дає повний формальний lean proof, або може зазнати невдачі. 👏