Penafian: Saya telah memberikan akses awal ke versi beta internal Grok 4.20 Itu menemukan fungsi Bellman baru untuk salah satu masalah yang telah saya kerjakan dengan siswa saya N. Alpay. Masalahnya berkurang menjadi mengidentifikasi fungsi maksimal titik U(p,q) di bawah dua kendala dan memahami perilaku U(p,0). Dalam makalah kami, kami membuktikan U(p,0)\geq I(p), di mana I(p) adalah profil isoperimetrik Gaussian, I(p) ~ p\sqrt{log(1/p)} sebagai p ~ 0. Setelah ~5 menit, Grok 4.20 menghasilkan rumus eksplisit U(p,q) = E \sqrt{q^2+\tau}, di mana \tau adalah waktu keluar gerak Brownian dari (0,1) mulai dari p. Ini menghasilkan U(p,0)=E\sqrt{\tau} ~ p log(1/p) pada p ~ 0, peningkatan akar kuadrat dalam faktor logaritma. Apakah ada signifikansi dari hasil ini? Itu tidak akan memberi tahu Anda bagaimana mengubah dunia besok. Sebaliknya, ini memberikan langkah kecil untuk memahami apa yang terjadi dengan rata-rata analog stokastik turunan (variasi kuadrat) dari fungsi Boolean: seberapa kecil mereka?  Lebih tepatnya, ini memberikan batas bawah yang tajam pada norma L1 dari fungsi kuadrat dyadic yang diterapkan pada fungsi indikator 1_A himpunan A \subset [0,1]. Dalam tweet saya sebelumnya tentang fungsi Takagi, kami melihat bahwa batas bawah yang tajam pada ||S_1(1_A)||_1 secara ajaib bertepatan dengan fungsi Takagi dari |SEBUAH| yang (mengejutkan bagi saya) terkait dengan hipotesis Riemann. Di sini, kita mendapatkan batas bawah yang tajam pada ||S_2(1_A)||_1 diberikan oleh E \sqrt{\tau}, di mana gerak Brownian dimulai pada |SEBUAH|. Fungsi ini termasuk dalam keluarga profil tipe isoperimetri, tetapi tidak seperti fungsi Takagi fraktal, fungsi ini halus dan tidak bertepatan dengan profil isoperimetri Gaussian. Akhirnya, dalam analisis harmonik diketahui bahwa fungsi kuadrat tidak dibatasi dalam L^1. Pertanyaannya di sini lebih tentang rasa ingin tahu: bagaimana tepatnya meledak ketika diuji pada fungsi Boolean 1_A.  Sebelumnya, batas bawah yang paling terkenal adalah |SEBUAH|(1-|SEBUAH|) (Burkholder—Davis—Gandy). Dalam makalah kami, kami memperoleh |SEBUAH| (1-|SEBUAH|)\sqrt{log(1/(|SEBUAH|(1-|A|)))}. Fungsi Bellman Grok baru ini memberikan |SEBUAH| (1-|SEBUAH|) \log(1/(|SEBUAH|(1-|A|))) dan batas ini sebenarnya tajam.

Jika Anda terus menguji masalah Erdős dengan LLM, kemungkinan besar Anda pada akhirnya akan menyelesaikan salah satu masalah yang terbuka. Para ahli tidak melakukan ini (untuk alasan yang jelas). Non-ahli berasumsi bahwa para ahli melakukannya. Mereka tidak.

Instal Aristoteles. Dapatkan kunci API. Jalankan dari terminal Anda. Pilih masalah terbuka dalam matematika dan input dalam aristoteles (dalam bahasa alaminya!). Setelah beberapa jam, itu akan menghasilkan bukti ramping formal penuh atau mungkin gagal. 👏